視界望遠鏡 Event Horizon Telescope
視界望遠鏡（Event Horizon Telescope, EHT）不是一個實體望遠鏡，是一種用於觀測黑洞的一類演算法。黑洞距離地球非常遙遠，而且黑洞本身不發光，傳遞到地球的也是周圍外環的不可見光，觀測難度極高。因此 EHT 的成功是物理學界一個非常重要的里程碑。
這篇文章會介紹首次成功拍攝黑洞照片的 EHT 演算法 CHIRP，並且會附上 Source Code 與參考資料。
地球大的望遠鏡 — VLBI
根據物理學，如果要觀測最近的銀河系中心的黑洞 M87 的話，需要的望遠鏡鏡片需要直徑 13000 公里，相當於赤道的直徑。因此，製作一個實體的 EHT 是不可能的。折衷的辦法是在地球上佈滿望遠鏡，合併多個望遠鏡來組成一個高清圖片；但地球上的天文觀測站並沒有這麼多，所以這個辦法的可行性也不高。
VLBI（Very Long Baseline Interferometry，超長基線干涉技術）是由多個電波望遠鏡所組成的宇宙觀測技術，可以模擬地球大的觀測口徑。下面我細分為三個階段，簡單說明 VLBI 的技術原理。
電波望遠鏡 Radio Telescope
電波望遠鏡是用來觀察宇宙的天文觀測儀器。因為波長越短的波穿透力越強，所以能夠傳到地球的光都是屬於短波長的光，也就是電波 (Radio)。電波望遠鏡的觀測解析度與觀測口徑成正比。因此，電波望遠鏡的觀測檢析度相當有限。
干涉儀 Interferometry
干涉儀是利用干涉原理來提升電波望遠鏡效果的觀測方法。干涉儀有很多種種類，在這篇文章與論文內指的都是天文干涉儀（Astronomical Interferometer ）。
干涉儀原理是將兩個電波望遠鏡對準天空的同一個位置，並記錄電波抵達兩個望遠鏡的時間差，再透過 van Cittert-Zernike理論 提高量測解析度。干涉儀可以把電波望遠鏡的觀測口徑提升為兩個電波望遠鏡之間的地理距離。
超長基線干涉儀 VLBI
VLBI 是由多個電波望遠鏡組成的。VLBI 使用的電波望遠鏡遍布地球各地，並且都透過原子鐘精準校時，同步多個電波望遠鏡的觀測數據進行離線分析，將觀測的口徑提升到了地球直徑。考慮地球本身的自轉，連續進行 VLBI 觀測相當於提升望遠鏡數量，可以得到更精準地觀測結果。
VLBI 圖片重建演算法
雖然 VLBI 已經將電波望遠鏡的理論觀測口徑提升到了地球直徑，但是 VLBI 的設計也導了更多的雜訊，例如：大氣干擾、瞄準誤差…等等。把嘈雜的 VLBI 訊號轉換成肉眼可見的清晰照片的演算法就是 VLBI 影像重建技術，也是我們能夠看到黑洞照片的關鍵技術。
黑洞重建的難點
前幾篇文章介紹過不少圖片生成的演算法，但是這些方法都無法生成黑洞的圖片——因為沒有黑洞的照片。大部分的圖片生成演算法都需要生成目標的訓練資料才能監督，但這在黑洞重建是不可能的，因為黑洞目前只存在理論之中而仍未被直接觀測到。
另一種想法是利用黑洞的模擬圖片來做為訓練資料重建黑洞，但這樣會失去意義，因為黑洞是愛因斯坦基於相對論而預測的預言。利用預言的模擬圖來訓練黑洞照片，即失去了 EHT 的意義。
CHIRP
CHIRP, Continuous High-resolution Image Reconstruction using Patch priors，是由 Katherine Bouman 在 2016 年投稿在 CVPR 的 VLBI 影像重建演算法。由於 VLBI 的原始數據包含的大量的雜訊，因此幾乎是不可能用來生成可靠的照片。CHIRP 提供了客觀的圖片生成演算法來解決這個問題。
以下是 CHIRP 與其他演算法用 LVBI 數據生成黑洞照片的成像結果，除了 CHIRT 以外的經典重建算法都沒有辦法在黑洞的 VLBI 數據下生成正確的圖片：
CHIRP 包含2 個關鍵的演算法，用來生成高解析度的黑洞照片：
- 降低 VLBI 的雜訊：原本干涉儀的設計是將 2 個望遠鏡一組，CHIRP 改為 3 個一組，改善數學公式並降低了 VLBI 的觀測雜訊。
- 降低圖片的雜訊：為了降一步降躁，CHIRP 引用了論文《From Learning Models of Natural Image Patches to Whole Image Restoration》，用客觀的小圖片拼貼成一張高清低雜訊的黑洞照片。
CHIRP 的圖片生成演算法
假設一個原始圖片是一向量 x ，經過了雜訊矩陣 A 影響後，得到圖片 y。整個過程可以用一個線性公式表示：Ax=y。而圖片降躁的問題定義就是給定一個模糊的圖片 y ，反推回原始的清晰圖片 x。
這篇論文的中心思想就是將圖片切割成無數的小圖（patch），並且試著用這些 patch 來拼接成原始的大圖。利用不同領域的 patch 為拼圖，拼出最能符合 x 特性的原始大圖。
在重建黑洞照片的問題中，作者認為如果使用任何領域的 patch（黑洞模擬圖、天文圖、日常圖片）都可以生成相同的黑洞圖片，就代表這個生成的圖片沒有受到任何的先驗知識影響，是一張客觀可靠的「照片」。
損失函數
因此，圖片降躁的目標為最小化以下函數：
其中 EPLL 代表 Expected Path Log Likelihood，用以評估 x 的某個 patch 是不是為真實圖片：
其中 i 表示圖中的某個 patch， Pi 代表從 x 中取出第 i 個子區域的線性操作。論文假設圖片符合混和高斯模型（GMM, Gaussian Mixture Model），就可以用 EM 法（Expectation Maximization Algorithm）求出 GMM 參數，並得到 EPLL。
EPLL 認為：越符合混和高斯分配的圖片，就越趨近於真實合理的照片。透過這個損失函數設計，可以確保降躁後的圖 x 與模糊的圖 y 是盡量接近的，並且用 EPLL 的損失項來避免生成圖片過於失真。
Half Quadratic Splitting
因為直接求解損失函數過於困難，因此引用了外部圖片的 patch 來作為係數並求解 x。這種作法類似於拼拼圖，用其他照片的拼圖碎片拼出原圖 x。假設外部 patch 為集合 {z} ，損失函數可以改寫如下：
其中 zi 表示原圖中的某個 patch 對應的外部拼圖 patch； β 是一個控制係數，當 β → ∞ 的時候表示 x 完全使用 {z} 拼貼而成。
Half Quadratic Splitting 使用兩個步驟循環優化，求解最終的清晰圖片：
- 給定 x 求解 {zi}：對每個 patch 選取能夠讓損失函數最小的外部 patch 子集合 {zi}。
- 給定 {zi} 求解 x：根據論文，x 可以透過簡單的線性變換得到一個 Closed-form 的解。（這個推導過程沒有在論文中解釋）
關於圖片降躁演算法，除了論文原文之外也可以參考這個 GitHub，很多公式直接看 Code 會更清楚：
CHIRP 的黑洞照片生成實驗
最終，CHIRP 用同一批 M87 黑洞的 VLBI 觀測數據，利用不同領域的 patch 都生成了相似的黑洞照片。這個實驗表明生成照片並沒有引入任何的先驗知識，也間接證明了黑洞生成照片是沒有受到其他偏誤干擾的客觀觀測結果。
黑洞的照片首先在 2019 年的時候首次發表，然後在2021年3月的時候發布了更高清的圖片。關於 2021 的黑洞照片，我查的資料裡面都沒有提及演算法的更新；我推測是透過相同的算法持續運算，生成更高清的圖片。
在圖像生成裡面，CHIRP 是一個很有啟發的方法，他示範了如何在沒有目標照片的形況下客觀生成正確的圖片。CHIRP 不像 GAN 等生成模型使用「腦補」的監督方式，生成的照片更具有科學意義。
參考資料
TED TALK — How to take a picture of a black hole
Caltech — Imaging a Black Hole with the Event Horizon Telescope
TED TALK — Inside the black hole image that made history
論文
- Computational Imaging for VLBI Image Reconstruction
- From Learning Models of Natural Image Patches to Whole Image Restoration
